SIST ISO 23509:2020

INTERNATIONAL ISO
STANDARD 23509
Second edition
2016-11-15
Bevel and hypoid gear geometry
Géométrie des engrenages coniques et hypoïdes
Reference number
ISO 23509:2016(E)
©
ISO 2016

---------------------- Page: 1 ----------------------
ISO 23509:2016(E)

COPYRIGHT PROTECTED DOCUMENT
© ISO 2016, Published in Switzerland
All rights reserved. Unless otherwise specified, no part of this publication may be reproduced or utilized otherwise in any form
or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, or posting on the internet or an intranet, without prior
written permission. Permission can be requested from either ISO at the address below or ISO’s member body in the country of
the requester.
ISO copyright office
Ch. de Blandonnet 8 • CP 401
CH-1214 Vernier, Geneva, Switzerland
Tel. +41 22 749 01 11
Fax +41 22 749 09 47
copyright@iso.org
www.iso.org
ii © ISO 2016 – All rights reserved

---------------------- Page: 2 ----------------------
ISO 23509:2016(E)

Contents Page
Foreword .v
Introduction .vi
1 Scope . 1
2 Normative references . 1
3 Terms, definitions and symbols . 1
3.1 Terms and definitions . 5
3.2 Symbols . 7
4 Design considerations . 9
4.1 General . 9
4.2 Types of bevel gears .10
4.2.1 General.10
4.2.2 Straight bevels .10
4.2.3 Spiral bevels .10
4.2.4 Zerol bevels.10
4.2.5 Hypoids .11
4.3 Ratios .11
4.4 Hand of spiral .11
4.5 Preliminary gear size .12
5 Tooth geometry and cutting considerations.12
5.1 Manufacturing considerations .12
5.2 Tooth taper .12
5.3 Tooth depth configurations .14
5.3.1 Taper depth .14
5.3.2 Uniform depth .15
5.4 Dedendum angle modifications .17
5.5 Cutter radius .17
5.6 Mean radius of curvature .17
5.7 Hypoid design .18
5.8 Most general type of gearing.18
5.9 Hypoid geometry .19
5.9.1 Basics .19
5.9.2 Crossing point .21
6 Pitch cone parameters .21
6.1 Initial data for pitch cone parameters .21
6.2 Determination of pitch cone parameters for bevel and hypoid gears .22
6.2.1 Method 0 .22
6.2.2 Method 1 .22
6.2.3 Method 2 .26
6.2.4 Method 3 .31
7 Gear dimensions .33
7.1 Initial data for tooth profile parameters .33
7.2 Determination of basic data .36
7.3 Determination of tooth depth at calculation point .38
7.4 Determination of root angles and face angles .38
7.5 Determination of pinion face width, b .
1 40
7.6 Determination of inner and outer spiral angles .42
7.6.1 Pinion .42
7.6.2 Wheel .43
7.7 Determination of tooth depth .44
7.8 Determination of tooth thickness .44
7.9 Determination of remaining dimensions .46
© ISO 2016 – All rights reserved iii

---------------------- Page: 3 ----------------------
ISO 23509:2016(E)

8 Undercut check .47
8.1 Pinion .47
8.2 Wheel .49
Annex A (informative) Structure of ISO formula set for calculation of geometry data of
bevel and hypoid gears .51
Annex B (informative) Pitch cone parameters .57
Annex C (informative) Gear dimensions .68
Annex D (informative) Analysis of forces .75
Annex E (informative) Machine tool data .78
Annex F (informative) Sample calculations.79
Bibliography .138
iv © ISO 2016 – All rights reserved

---------------------- Page: 4 ----------------------
ISO 23509:2016(E)

Foreword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards
bodies (ISO member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out
through ISO technical committees. Each member body interested in a subject for which a technical
committee has been established has the right to be represented on that committee. International
organizations, governmental and non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work.
ISO collaborates closely with the International Electrotechnical Commission (IEC) on all matters of
electrotechnical standardization.
The procedures used to develop this document and those intended for its further maintenance are
described in the ISO/IEC Directives, Part 1. In particular the different approval criteria needed for the
different types of ISO documents should be noted. This document was drafted in accordance with the
editorial rules of the ISO/IEC Directives, Part 2 (see www.iso.org/directives).
Attention is drawn to the possibility that some of the elements of this document may be the subject of
patent rights. ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights. Details of
any patent rights identified during the development of the document will be in the Introduction and/or
on the ISO list of patent declarations received (see www.iso.org/patents).
Any trade name used in this document is information given for the convenience of users and does not
constitute an endorsement.
For an explanation on the meaning of ISO specific terms and expressions related to conformity assessment,
as well as information about ISO’s adherence to the World Trade Organization (WTO) principles in the
Technical Barriers to Trade (TBT) see the following URL: www.iso.org/iso/foreword.html.
The committee responsible for this document is ISO/TC 60, Gears, Subcommittee SC 2, Gear capacity
calculation.
This second edition cancels and replaces the first edition (ISO 23509:2006), which has been technically
revised with the following changes:
— minor corrections of several formulae;
— the figures have been reworked;
— explanations have been added in 4.4;
— the structure of Formula (129) has been changed to cover the case ζ =°0 ;
m
— a formula for the calculation of c has been added as Formula (F.160);
be2
— the values for α and α in Formulae (F.318) and (F.319) have been extended to three decimal
nC nD
digits to prevent rounding errors.
© ISO 2016 – All rights reserved v

---------------------- Page: 5 ----------------------
ISO 23509:2016(E)

Introduction
For many decades, information on bevel, and especially hypoid, gear geometry has been developed and
published by the gear machine manufacturers. It is clear that the specific formulae for their respective
geometries were developed for the mechanical generation methods of their particular machines and
tools. In many cases, these formulae could not be used in general for all bevel gear types. This situation
changed with the introduction of universal, multi-axis, CNC-machines, which in principle are able to
produce nearly all types of gearing. The manufacturers were, therefore, asked to provide CNC programs
for the geometries of different bevel gear generation methods on their machines.
This document integrates straight bevel gears and the three major design generation methods for
spiral bevel gears into one complete set of formulae. In only a few places do specific formulae for each
method have to be applied. The structure of the formulae is such that they can be programmed directly,
allowing the user to compare the different designs.
The formulae of the three methods are developed for the general case of hypoid gears and to calculate
the specific case of spiral bevel gears by entering zero for the hypoid offset. Additionally, the geometries
correspond such that each gear set consists of a generated or non-generated wheel without offset and a
pinion which is generated and provided with the total hypoid offset.
An additional objective of this document is that, on the basis of the combined bevel gear geometries, an
ISO hypoid gear rating system can be established in the future.
vi © ISO 2016 – All rights reserved

---------------------- Page: 6 ----------------------
INTERNATIONAL STANDARD ISO 23509:2016(E)
Bevel and hypoid gear geometry
1 Scope
This document specifies the geometry of bevel gears.
The term bevel gears is used to mean straight, spiral, zerol bevel and hypoid gear designs. If the text
pertains to one or more, but not all, of these, the specific forms are identified.
The manufacturing process of forming the desired tooth form is not intended to imply any specific
process, but rather to be general in nature and applicable to all methods of manufacture.
The geometry for the calculation of factors used in bevel gear rating, such as ISO 10300 (all parts), is
also included.
This document is intended for use by an experienced gear designer capable of selecting reasonable
values for the factors based on his/her knowledge and background. It is not intended for use by the
engineering public at large.
Annex A provides a structure for the calculation of the methods provided in this document.
2 Normative references
There are no normative references in this document.
3 Terms, definitions and symbols
For the purposes of this document, the terms and definitions given in ISO 1122-1 and the following apply.
ISO and IEC maintain terminological databases for use in standardization at the following addresses:
— IEC Electropedia: available at http://www.electropedia.org/
— ISO Online browsing platform: available at http://www.iso.org/obp
NOTE 1 The symbols, terms and definitions used in this document are, wherever possible, consistent with
other International Standards. It is known, because of certain limitations, that some symbols, their terms and
definitions, as used in this document, are different from those used in similar literature pertaining to spur and
helical gearing.
NOTE 2 Bevel gear nomenclature used throughout this document is illustrated in Figure 1, the axial section of
a bevel gear, and in Figure 2, the mean transverse section. Hypoid nomenclature is illustrated in Figure 3.
Subscript 1 refers to the pinion and subscript 2 to the wheel.
© ISO 2016 – All rights reserved 1

---------------------- Page: 7 ----------------------
ISO 23509:2016(E)

Key
1 back angle 10 front angle 19 outer pitch diameter, d , d
e1 e2
2 back cone angle 11 mean cone distance, R 20 root angle, δ , δ
m f1 f2
3 back cone distance 12 mean point 21 shaft angle, Σ
4 clearance, c 13 mounting distance 22 equivalent pitch radius
5 crown point 14 outer cone distance, R 23 mean pitch diameter, d , d
e m1 m2
6 crown to back 15 outside diameter, d , d 24 pinion
ae1 ae2
7 dedendum angle, θ , θ 16 pitch angle, δ , δ 25 wheel
f1 f2 1 2
8 face angle δ , δ 17 pitch cone apex
a1 a2
9 face width, b 18 crown to crossing point, t , t
xo1 xo2
NOTE See Figure 2 for mean transverse section, A-A.
Figure 1 — Bevel gear nomenclature — Axial plane
2 © ISO 2016 – All rights reserved

---------------------- Page: 8 ----------------------
ISO 23509:2016(E)

Key
1 whole depth, h 5 circular pitch 9 working depth, h
m mw
2 pitch point 6 chordal addendum 10 addendum, h
am
3 clearance, c 7 chordal thickness 11 dedendum, h
fm
4 circular thickness 8 backlash 12 equivalent pitch radius
NOTE See A-A in Figure 1.
Figure 2 — Bevel gear nomenclature — Mean transverse section
© ISO 2016 – All rights reserved 3

---------------------- Page: 9 ----------------------
ISO 23509:2016(E)

Key
1 face apex beyond crossing point, t 7 outer pitch diameter, d , d 13 mounting distance
zF1 e1 e2
2 root apex beyond crossing point, t 8 shaft angle, Σ 14 pitch angle, δ
zR1 2
3 pitch apex beyond crossing point, t 9 root angle, δ , δ 15 outer cone distance, R
z1 f1 f2 e
4 crown to crossing point, t , t 10 face angle of blank, δ , δ 16 pinion face width, b
xo1 xo2 a1 a2 1
5 front crown to crossing point, t 11 wheel face width, b
xi1 2
6 outside diameter, d , d 12 hypoid offset, a
ae1 ae2
NOTE Apex beyond crossing point values are positive when crossing point lies inside the respective cone.
Figure 3 — Hypoid nomenclature
4 © ISO 2016 – All rights reserved

---------------------- Page: 10 ----------------------
ISO 23509:2016(E)

3.1 Terms and definitions
3.1.1
mean chordal addendum
h , h
amc1 amc2
height from the top of the gear tooth to the chord subtending the circular thickness arc at the mean
cone distance in a plane normal to the tooth face
3.1.2
mean addendum
h , h
am1 am2
height by which the gear tooth projects above the pitch cone at the mean cone distance
3.1.3
outer normal backlash allowance
j
en
amount by which the tooth thicknesses are reduced to provide the necessary backlash in assembly
Note 1 to entry: It is specified at the outer cone distance.
3.1.4
coast side
convex pinion flank in mesh with the concave wheel flank
3.1.5
cutter radius
r
c0
nominal radius of the face type cutter or cup-shaped grinding wheel that is used to cut or grind the
spiral bevel teeth
3.1.6
sum of dedendum angles
Σθ
f
sum of the pinion and wheel dedendum angles
3.1.7
sum of constant slot width dedendum angles
Σθ
fC
sum of dedendum angles for constant slot width
3.1.8
sum of modified slot width dedendum angles
Σθ
fM
sum of dedendum angles for modified slot width taper
3.1.9
sum of standard depth dedendum angles
Σθ
fS
sum of dedendum angles for standard depth taper
3.1.10
sum of uniform depth dedendum angles
Σθ
fU
sum of dedendum angles for uniform depth
3.1.11
mean dedendum
h , h
fm1 fm2
depth of the tooth space below the pitch cone at the mean cone distance
© ISO 2016 – All rights reserved 5

---------------------- Page: 11 ----------------------
ISO 23509:2016(E)

3.1.12
mean whole depth
h
m
tooth depth at mean cone distance
3.1.13
mean working depth
h
mw
depth of engagement of two gears at mean cone distance
3.1.14
direction of rotation
direction determined by an observer viewing the gear from the back looking towards the pitch apex
3.1.15
drive side
by normal convention, concave pinion flank in mesh with the convex wheel flank
3.1.16
face width
b
length of the teeth measured along a pitch cone element
3.1.17
mean addendum factor
c
ham
apportions the mean working depth between wheel and pinion mean addendums
Note 1 to entry: The gear mean addendum is equal to c times the mean working depth.
ham
3.1.18
mean radius of curvature
ρ
mβ
radius of curvature of the tooth surface in the lengthwise direction at the mean cone distance
3.1.19
number of blade groups
z
0
number of blade groups contained in the circumference of the cutting tool
3.1.20
number of teeth
z , z
1 2
number of teeth contained in the whole circumference of the pitch cone
3.1.21
number of crown gear teeth
z
p
number of teeth in the whole circumference of the crown gear
Note 1 to entry: The number may not be an integer.
3.1.22
mean normal chordal tooth thickness
s , s
mnc1 mnc2
chordal thickness of the gear tooth at the mean cone distance in a plane normal to the tooth trace
6 © ISO 2016 – All rights reserved

---------------------- Page: 12 ----------------------
ISO 23509:2016(E)

3.1.23
mean normal circular tooth thickness
s , s
mn1 mn2
length of arc on the pitch cone between the two sides of the gear tooth at the mean cone distance in the
plane normal to the tooth trace
3.1.24
tooth trace
curve of the tooth on the pitch surface
3.1.25
mean point
point where the calculation of basic geometry is executed
Note 1 to entry: Mean point does not necessarily coincide with middle point of face width.
Note 2 to entry: In all the methods listed in this document, the term “mean point” refers to “calculation point”.
See A.3 for calculation points.
3.2 Symbols
Table 1 — Symbols used in this document
Symbol Description Unit
a hypoid offset mm
b , b face width mm
1 2
b , b face width from calculation point to outside mm
e1 e2
b , b face width from calculation point to inside mm
i1 i2
c clearance mm
c face width factor —
be2
c mean addendum factor of wheel —
ham
d , d outside diameter mm
ae1 ae2
d , d outer pitch diameter mm
e1 e2
d , d mean pitch diameter mm
m1 m2
F axial force N
ax
F , F tangential force at mean diameter N
mt1 mt2
F radial force N
rad
f influence factor of limit pressure angle —
αlim
h , h outer addendum mm
ae1 ae2
h , h mean addendum mm
am1 am2
h , h mean chordal addendum mm
amc1 amc2
h , h outer whole depth mm
e1 e2
h , h outer dedendum mm
fe1 fe2
h , h inner dedendum mm
fi1 fi2
h , h mean dedendum mm
fm1 fm2
h mean whole depth mm
m
h mean working depth mm
mw
h pinion whole depth mm
t1
j outer normal backlash mm
en
j outer transverse backlash mm
et
j mean normal backlash mm
mn
© ISO 2016 – All rights reserved 7

---------------------- Page: 13 ----------------------
ISO 23509:2016(E)

Table 1 (continued)
Symbol Description Unit
j mean transverse backlash mm
mt
k clearance factor —
c
k depth factor —
d
k basic crown gear addendum factor (related to m ) —
hap mn
k basic crown gear deddendum factor (related to m ) —
hfp mn
k circular thickness factor —
t
m outer transverse module mm
et
m mean normal module mm
mn
−1
n pinion speed min
1
P power kW
R , R outer cone distance mm
e1 e2
R , R inner cone distance mm
i1 i2
R , R mean cone distance mm
m1 m2
r cutter radius mm
c0
s , s mean normal circular tooth thickness mm
mn1 mn2
s , s mean normal chordal tooth thickness mm
mnc1 mnc2
T pinion torque Nm
1
t , t front crown to crossing point mm
xi1 xi2
t , t pitch cone apex to crown (crown to crossing point, hypoid) mm
xo1 xo2
t , t pitch apex beyond crossing point mm
z1 z2
t , t face apex beyond crossing point mm
zF1 zF2
t , t crossing point to inside point along axis mm
zi1 zi2
t , t crossing point to mean point along axis mm
zm1 zm2
t , t root apex beyond crossing point mm
zR1 zR2
u gear ratio —
u equivalent ratio —
a
W wheel mean slot width mm
m2
x profile shift coefficient —
hm1
x , x thickness modification coefficient (backlash included) —
sm1 sm2
x thickness modification coefficient (theoretical) —
smn
z number of blade groups —
0
z , z number of teeth —
1 2
z number of crown gear teeth —
p
α nominal design pressure angle on coast side °
dC
α nominal design pressure angle on drive side °
dD
α effective pressure angle on coast side °
eC
α effective pressure angle on drive side °
eD
α generated pressure angle on drive side °
nD
α generated pressure angle on coast side °
nC
α limit pressure angle °
lim
β , β outer spiral angle °
e1 e2
β , β inner spiral angle °
i1 i2
β , β mean spiral angle °
m1 m2
Δb pinion face width increment mm
x1
8 © ISO 2016 – All rights reserved

---------------------- Page: 14 ----------------------
ISO 23509:2016(E)

Table 1 (continued)
Symbol Description Unit
Δg increment along pinion axis from calculation point to inside mm
xi
Δg increment along pinion axis from calculation point to outside mm
xe
ΔΣ shaft angle departure from 90° °
δ , δ face angle °
a1 a2
δ , δ root angle °
f1 f2
δ , δ pitch angle °
1 2
ε face contact ratio -
β
η wheel offset angle in axial plane °
θ , θ addendum angle °
a1 a2
θ , θ dedendum angle °
f1 f2
ν lead angle of cutter °
ρ epicycloid base circle radius mm
b
ρ limit curvature radius mm
lim
ρ crown gear to cutter centre distance mm
P0
Σ shaft angle °
Σθ sum of dedendum angles °
f
Σθ sum of dedendum angles for constant slot width taper °
fC
Σθ sum of dedendum angles for standard taper °
fS
Σθ sum of dedendum angles for modified slot width taper °
fM
Σθ sum of dedendum angles for uniform depth taper °
fU
°
pinion offset angle in face plane
ζ
o
°
pinion offset angle in axial plane
ζ
m
°
ζ offset angle in pitch plane, pinion and wheel
mp
°
pinion offset angle in root plane
ζ
R
4 Design considerations
4.1 General
Loading, speed, accuracy requirements, space limitations and special operating conditions influence the
design. For details, see ISO 10300 (all parts), Annex B and handbooks of gear manufacturing companies.
“Precision finish”, as used in this document, refers to a machine finishing operation which includes
grinding, skiving and hard cut finishing. However, the common form of finishing known as “lapping” is
specifically excluded as a form of precision finishing.
Users should determine the cutting methods available from their gear manufacturer prior to proceeding.
Cutting systems used by bevel gear manufacturers are heavily dependent upon the type of machine tool
that will be used.
© ISO 2016 – All rights reserved 9

---------------------- Page: 15 ----------------------
ISO 23509:2016(E)

4.2 Types of bevel gears
4.2.1 General
Bevel gears are suitable for transmitting power between shafts at practically any angle or speed.
However, the part
...

NORME ISO
INTERNATIONALE 23509
Deuxième édition
2016-11-15
Géométrie des engrenages coniques et
hypoïdes
Bevel and hypoid gear geometry
Numéro de référence
ISO 23509:2016(F)
©
ISO 2016

---------------------- Page: 1 ----------------------
ISO 23509:2016(F)

DOCUMENT PROTÉGÉ PAR COPYRIGHT
© ISO 2016, Publié en Suisse
Droits de reproduction réservés. Sauf indication contraire, aucune partie de cette publication ne peut être reproduite ni utilisée
sous quelque forme que ce soit et par aucun procédé, électronique ou mécanique, y compris la photocopie, l’affichage sur
l’internet ou sur un Intranet, sans autorisation écrite préalable. Les demandes d’autorisation peuvent être adressées à l’ISO à
l’adresse ci-après ou au comité membre de l’ISO dans le pays du demandeur.
ISO copyright office
Ch. de Blandonnet 8 • CP 401
CH-1214 Vernier, Geneva, Switzerland
Tel. +41 22 749 01 11
Fax +41 22 749 09 47
copyright@iso.org
www.iso.org
ii © ISO 2016 – Tous droits réservés

---------------------- Page: 2 ----------------------
ISO 23509:2016(F)

Sommaire Page
Avant-propos .v
Introduction .vi
1 Domaine d’application . 1
2 Références normatives . 1
3 Termes, définitions et symboles . 1
3.1 Termes et définitions . 5
3.2 Symboles . 7
4 Considérations générales relatives à la conception. 9
4.1 Généralités . 9
4.2 Types d’engrenages coniques .10
4.2.1 Généralités .10
4.2.2 Engrenages coniques droits .10
4.2.3 Engrenages spiroconiques .10
4.2.4 Engrenages coniques zérol .11
4.2.5 Engrenages hypoïdes .11
4.3 Rapports .11
4.4 Sens de la spirale .12
4.5 Dimension préliminaire de l’engrenage .12
5 Géométrie de la denture et considérations relatives au taillage .12
5.1 Considérations de fabrication .12
5.2 Inclinaison de la denture .12
5.3 Configurations de la hauteur de denture .14
5.3.1 Variation de la hauteur .14
5.3.2 Hauteur uniforme .15
5.4 Modifications de l’angle de creux .17
5.5 Rayon de l’outil .17
5.6 Rayon moyen de courbure .17
5.7 Conception hypoïde .18
5.8 Type d’engrenages le plus courant .18
5.9 Géométrie hypoïde .19
5.9.1 Généralités .19
5.9.2 Point d’intersection .21
6 Paramètres du cône primitif de fonctionnement .21
6.1 Données initiales .21
6.2 Détermination des paramètres du cône primitif pour les engrenages coniques
et hypoïdes .22
6.2.1 Méthode 0 .22
6.2.2 Méthode 1 .22
6.2.3 Méthode 2 .26
6.2.4 Méthode 3 .31
7 Dimensions d’engrenages .33
7.1 Données initiales des paramètres de profil.33
7.2 Détermination des données de base .36
7.3 Détermination de la hauteur de dent au point de calcul .38
7.4 Détermination des angles de cône du pied et de tête .38
7.5 Détermination de la largeur de denture du pignon, b .
1 40
7.6 Détermination des angles de spirale intérieur et extérieur .42
7.6.1 Pignon .42
7.6.2 Roue .43
7.7 Détermination de la hauteur de dent .44
7.8 Détermination de l’épaisseur de dent .44
7.9 Détermination des autres dimensions .46
© ISO 2016 – Tous droits réservés iii

---------------------- Page: 3 ----------------------
ISO 23509:2016(F)

8 Vérification du dégagement de pied .47
8.1 Pignon .47
8.2 Roue .49
Annexe A (informative) Structure de la série de formules ISO pour le calcul des données
géométriques des engrenages coniques et hypoïdes .51
Annexe B (informative) Paramètres de cône primitif de fonctionnement .57
Annexe C (informative) Dimension des engrenages.67
Annexe D (informative) Analyse des forces .74
Annexe E (informative) Données relatives aux machines-outils .77
Annexe F (informative) Exemples de calculs .78
Bibliographie .138
iv © ISO 2016 – Tous droits réservés

---------------------- Page: 4 ----------------------
ISO 23509:2016(F)

Avant-propos
L’ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d’organismes
nationaux de normalisation (comités membres de l’ISO). L’élaboration des Normes internationales est
en général confiée aux comités techniques de l’ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude
a le droit de faire partie du comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales,
gouvernementales et non gouvernementales, en liaison avec l’ISO participent également aux travaux.
L’ISO collabore étroitement avec la Commission électrotechnique internationale (IEC) en ce qui
concerne la normalisation électrotechnique.
Les procédures utilisées pour élaborer le présent document et celles destinées à sa mise à jour sont
décrites dans les Directives ISO/IEC, Partie 1. Il convient, en particulier de prendre note des différents
critères d’approbation requis pour les différents types de documents ISO. Le présent document a été
rédigé conformément aux règles de rédaction données dans les Directives ISO/IEC, Partie 2 (voir www.
iso.org/directives).
L’attention est appelée sur le fait que certains des éléments du présent document peuvent faire l’objet de
droits de propriété intellectuelle ou de droits analogues. L’ISO ne saurait être tenue pour responsable
de ne pas avoir identifié de tels droits de propriété et averti de leur existence. Les détails concernant
les références aux droits de propriété intellectuelle ou autres droits analogues identifiés lors de
l’élaboration du document sont indiqués dans l’Introduction et/ou dans la liste des déclarations de
brevets reçues par l’ISO (voir www.iso.org/brevets).
Les appellations commerciales éventuellement mentionnées dans le présent document sont données
pour information, par souci de commodité, à l’intention des utilisateurs et ne sauraient constituer un
engagement.
Pour une explication de la signification des termes et expressions spécifiques de l’ISO liés à l’évaluation
de la conformité, ou pour toute information au sujet de l’adhésion de l’ISO aux principes de l’Organisation
mondiale du commerce (OMC) concernant les obstacles techniques au commerce (OTC), voir le lien
suivant: www.iso.org/iso/fr/avant-propos.html
Le comité chargé de l’élaboration du présent document est l’ISO/TC 60, Engrenages, sous-comité SC 2,
Calcul de la capacité des engrenages.
Cette deuxième édition annule et remplace la première édition (ISO 23509:2006), qui a fait l’objet de la
révision technique suivante:
— des corrections mineures ont été apportées à plusieurs formules;
— les figures ont été retravaillées;
— des explications ont été ajoutées en 4.4;
— la structure de la Formule (129) a été changée de manière à couvrir le cas où ζ =°0 ;
m
— une formule pour le calcul de c a été ajoutée en tant que Formule (F.160);
be2
— les valeurs de α et α dans les Formules (F.318) et (F.319) ont été étendues à trois décimales pour
nC nD
éviter les erreurs d’arrondi.
© ISO 2016 – Tous droits réservés v

---------------------- Page: 5 ----------------------
ISO 23509:2016(F)

Introduction
Pendant plusieurs décennies, les informations relatives à la géométrie des engrenages coniques, et
plus particulièrement des engrenages hypoïdes, ont été collectées et publiées par les constructeurs de
machines à tailler les engrenages. Il est clair que les formules spécifiques à leur géométrie respective
ont été établies pour les méthodes de génération mécanique des machines et outils propres aux
constructeurs. Dans de nombreux cas, ces formules ne pouvaient être utilisées pour tous les types
d’engrenage conique. Grâce à l’introduction des machines CNC (commande numérique par calculateur)
universelles et multiaxiales, en principe capables de produire tous les types d’engrenage, cette situation
a évolué. En conséquence, les constructeurs ont dû fournir des programmes CNC adaptés à la géométrie
des différentes méthodes de génération d’engrenage conique présentes sur leurs machines.
Le présent Document intègre, dans un ensemble complet de formules, les engrenages coniques droits
ainsi que les trois principales méthodes de conception des engrenages spiroconiques. Seuls quelques
aspects particuliers nécessitent que des formules propres à chaque méthode soient appliquées. La
structure des formules permet leur programmation directe, ce qui donne la possibilité à l’utilisateur de
comparer les différentes conceptions.
Les formules des trois méthodes sont élaborées pour le cas général des engrenages hypoïdes et le calcul
associé au cas particulier des engrenages spiroconiques s’effectue en définissant un décalage hypoïde
égal à zéro. Par ailleurs, les géométries sont telles que chaque paire de roues est constituée d’une roue
générée ou non générée sans décalage et d’un pignon généré et associé au décalage hypoïde total.
Le présent document peut également permettre la future mise en place d’un système de classification
ISO des engrenages hypoïdes sur la base des géométries combinées des engrenages coniques.
vi © ISO 2016 – Tous droits réservés

---------------------- Page: 6 ----------------------
NORME INTERNATIONALE ISO 23509:2016(F)
Géométrie des engrenages coniques et hypoïdes
1 Domaine d’application
Le présent document spécifie la géométrie des engrenages coniques.
Le terme «engrenages coniques» est utilisé pour désigner les engrenages coniques droits, spiroconiques,
coniques zérol ainsi que les engrenages hypoïdes. Lorsque le texte ne fait référence qu’à certains de ces
types d’engrenage, les formes spécifiques sont alors nommément identifiées.
Il n’est pas prévu que le processus d’usinage de la forme de denture souhaitée implique un processus
spécifique. Il est, au contraire, de nature générale et applicable à toutes les méthodes de fabrication.
La géométrie des facteurs utilisés pour la capacité des engrenages coniques, tel que spécifié dans
l’ISO 10300 (toutes les parties), est également incluse.
Le présent document est destiné à être utilisé par des concepteurs d’engrenages expérimentés, capables
de sélectionner des valeurs raisonnables pour les facteurs en fonction de leurs connaissances et de leur
expérience. Il ne s’adresse pas à un public d’ingénieurs généralistes.
L’Annexe A présente une structure de calcul applicable aux méthodes indiquées dans le présent
document.
2 Références normatives
Il n’existe pas de références normatives pour le présent document.
3 Termes, définitions et symboles
Pour les besoins du présent document, les termes et définitions de l’ISO 1122-1 ainsi que les suivants,
s’appliquent.
L’ISO et l’IEC tiennent à jour des bases de données terminologiques destinées à être utilisées en
normalisation, consultables aux adresses suivantes:
— IEC Electropedia: disponible à l’adresse http://www.electropedia.org/
— ISO Online browsing platform: disponible à l’adresse http://www.iso.org/obp
NOTE 1 Les symboles, termes et définitions utilisés dans le présent document sont, dans la mesure du possible,
cohérents avec d’autres Normes internationales. Toutefois, en raison de certaines limitations, il est reconnu que
certains symboles, leurs termes et définitions, tels qu’utilisés dans le présent document, diffèrent de ceux utilisés
dans certains documents relatifs aux engrenages à dentures droites et hélicoïdales.
NOTE 2 La nomenclature des engrenages coniques utilisée dans le présent document est illustrée à la Figure 1,
vue de la section axiale d’un engrenage conique et à la Figure 2, vue de la section transversale moyenne. La
nomenclature hypoïde est illustrée à la Figure 3.
L’indice 1 fait référence au pignon et l’indice 2 à la roue.
© ISO 2016 – Tous droits réservés 1

---------------------- Page: 7 ----------------------
ISO 23509:2016(F)

Légende
1 angle de dépouille 10 angle avant 19 diamètre de référence extérieur,
d , d
e1 e2
2 angle du cône complémentaire 11 génératrice moyenne 20 angle de cône du pied, δ , δ
f1 f2
du cône de référence, R
m
3 génératrice extérieure 12 point moyen 21 angle des axes, Σ
avec le cône complémentaire
4 vide à fond de dent, c 13 distance de référence 22 rayon équivalent primitif de
fonctionnement
5 point extérieur de diamètre 14 génératrice extérieure du 23 diamètre primitif moyen, d , d
m1 m2
de tête cône de référence, R
e
6 distance de tête de référence 15 diamètre extérieur, d , d 24 pignon
ae1 ae2
7 angle de creux, θ , θ 16 angle primitif, δ , δ 25 roue
f1 f2 1 2
8 angle de cône de tête, δ , δ 17 sommet du cône primitif de
a1 a2
fonctionnement
9 largeur de denture, b 18 distance entre bombé et point
d’intersection, t , t
xo1 xo2
NOTE Voir Figure 2 pour la section transversale moyenne, A-A.
Figure 1 — Nomenclature d’un engrenage conique — Plan axial
2 © ISO 2016 – Tous droits réservés

---------------------- Page: 8 ----------------------
ISO 23509:2016(F)

Légende
1 hauteur de dent, h 5 pas apparent 9 hauteur utile, h
m mw
2 point primitif 6 saillie à la corde 10 saillie, h
am
3 vide à fond de dent, c 7 épaisseur à la corde 11 creux, h
fm
4 épaisseur apparente 8 jeu 12 rayon équivalent primitif de
fonctionnement
NOTE Voir A-A à la Figure 1.
Figure 2 — Nomenclature d’un engrenage conique — Section transversale moyenne
© ISO 2016 – Tous droits réservés 3

---------------------- Page: 9 ----------------------
ISO 23509:2016(F)

Légende
1 distance du sommet du cône de tête 7 diamètre de référence extérieur, 13 distance de référence
au-delà du point d’intersection, t d , d
zF1 e1 e2
2 distance du sommet du cône de pied 8 angle des axes, Σ 14 angle primitif, δ
2
au-delà du point d’intersection, t
zR1
3 distance du sommet primitif au-delà 9 angle de cône du pied, δ , δ 15 génératrice extérieure du
f1 f2
du point d’intersection, t cône de référence, R
z1 e
4 distance entre bombé et point 10 angle de cône de tête du corps de 16 largeur de denture du
d’intersection, t , t roue, δ , δ pignon, b
xo1 xo2 a1 a2 1
5 distance entre bombé frontal et point 11 largeur de denture de la roue, b
2
d’intersection, t
xi1
6 diamètre extérieur, d , d 12 décalage hypoïde, a
ae1 ae2
NOTE Un sommet au-delà du point d’intersection prend une valeur positive lorsque ce point se situe dans le
cône respectif.
Figure 3 — Nomenclature hypoïde
4 © ISO 2016 – Tous droits réservés

---------------------- Page: 10 ----------------------
ISO 23509:2016(F)

3.1 Termes et définitions
3.1.1
saillie moyenne à la corde
h , h
amc1 amc2
distance entre le sommet d’une dent et la corde sous-tendant l’arc d’épaisseur apparente au niveau de la
génératrice moyenne du cône de référence, dans un plan normal par rapport à la face de la dent
3.1.2
saillie moyenne
h , h
am1 am2
distance par laquelle la dent de roue se projette au-dessus du cône primitif de fonctionnement au niveau
de la génératrice moyenne du cône de référence
3.1.3
tolérance de jeu normal extérieur
j
en
grandeur de réduction des épaisseurs apparentes en vue de fournir le jeu nécessaire à l’assemblage
Note 1 à l’article: Elle est spécifiée au niveau de la génératrice extérieure du cône de référence.
3.1.4
côté entraîné
flanc de pignon convexe en engrènement avec le flanc de roue concave
3.1.5
rayon de l’outil
r
c0
rayon nominal de la fraise ou de la meule boisseau utilisée pour tailler ou meuler les dents des
engrenages spiroconiques
3.1.6
somme des angles de creux
Σθ
f
somme des angles de creux du pignon et de la roue
3.1.7
somme des angles de creux, largeur de rainure constante
Σθ
fC
somme des angles de creux pour une largeur de rainure constante
3.1.8
somme des angles de creux, largeur de rainure modifiée
Σθ
fM
somme des angles de creux pour une variation de la largeur de rainure modifiée
3.1.9
somme des angles de creux, hauteur standard
Σθ
fS
somme des angles de creux pour une variation de la hauteur standard
3.1.10
somme des angles de creux, hauteur uniforme
Σθ
fU
somme des angles de creux pour une hauteur uniforme
3.1.11
creux moyen
h , h
fm1 fm2
hauteur de l’entredent au-dessous du cône primitif de fonctionnement au niveau de la génératrice
moyenne du cône de référence
© ISO 2016 – Tous droits réservés 5

---------------------- Page: 11 ----------------------
ISO 23509:2016(F)

3.1.12
hauteur de dent moyenne
h
m
hauteur de dent au niveau de la génératrice moyenne du cône de référence
3.1.13
hauteur utile moyenne
h
mw
hauteur de l’engrènement de deux roues au niveau de la génératrice moyenne du cône de référence
3.1.14
sens de rotation
sens déterminé par un observateur visualisant l’engrenage depuis l’arrière en regardant vers le sommet
primitif
3.1.15
côté entraînement
par convention normale, flanc de pignon concave en engrènement avec le flanc de roue convexe
3.1.16
largeur de denture
b
longueur des dents mesurée le long d’un élément du cône primitif de fonctionnement
3.1.17
facteur moyen de saillie
c
ham
répartition de la hauteur utile moyenne entre les saillies moyennes de la roue et du pignon
Note 1 à l’article: La saillie moyenne de l’engrenage est égale à c fois la hauteur utile moyenne.
ham
3.1.18
rayon moyen de courbure
ρ
mβ
rayon de courbure de la surface de la dent dans le sens longitudinal au niveau de la génératrice moyenne
du cône de référence
3.1.19
nombre de groupes de lames
z
0
nombre de groupes de lames contenues dans la circonférence de l’outil de taillage
3.1.20
nombre de dents
z , z
1 2
nombre de dents contenues dans la circonférence totale du cône primitif de fonctionnement
3.1.21
nombre de dents de roue plate
z
p
nombre de dents dans la circonférence totale de la roue plate
Note 1 à l’article: Ce nombre peut ne pas être un entier.
3.1.22
épaisseur normale moyenne à la corde
s , s
mnc1 mnc2
épaisseur à la corde des dents de la roue au niveau de la génératrice moyenne du cône de référence dans
un plan normal par rapport à la ligne de flanc de référence de la dent
6 © ISO 2016 – Tous droits réservés

---------------------- Page: 12 ----------------------
ISO 23509:2016(F)

3.1.23
épaisseur circulaire normale moyenne
s , s
mn1 mn2
longueur de l’arc sur le cône primitif de fonctionnement entre les deux côtés de la dent au niveau de
la génératrice moyenne du cône de référence, dans le plan normal par rapport à la ligne de flanc de
référence de la dent
3.1.24
ligne de flanc
courbe de la dent sur la surface primitive
3.1.25
point moyen
point où la géométrie de base est calculée
Note 1 à l’article: Le point moyen ne coïncide pas nécessairement avec le point central de la largeur de denture.
Note 2 à l’article: Dans toutes les méthodes énumérées dans le présent document, le terme « point moyen »
désigne le «point de calcul». Voir A.3 pour les points de calcul.
3.2 Symboles
Tableau 1 — Symboles utilisés dans le présent document
Symbole Description Unité
a décalage hypoïde mm
b , b largeur de denture mm
1 2
b , b largeur de denture du point de calcul vers l’extérieur mm
e1 e2
b , b largeur de denture du point de calcul vers l’intérieur mm
i1 i2
c vide à fond de dent mm
c facteur de largeur de denture —
be2
c facteur moyen de saillie de la roue —
ham
d , d diamètre extérieur mm
ae1 ae2
d , d diamètre de référence extérieur mm
e1 e2
d , d diamètre primitif moyen mm
m1 m2
F force axiale N
ax
F , F force tangentielle au niveau du diamètre moyen N
mt1 mt2
F force radiale N
rad
f facteur d’influence de l’angle de pression limite —
αlim
h , h saillie extérieure mm
ae1 ae2
h , h saillie moyenne mm
am1 am2
h , h saillie moyenne à la corde mm
amc1 amc2
h , h hauteur de dent extérieure mm
e1 e2
h , h creux extérieur mm
fe1 fe2
h , h creux intérieur mm
fi1 fi2
h , h creux moyen mm
fm1 fm2
h hauteur de dent moyenne mm
m
h hauteur utile moyenne mm
mw
h hauteur de dent du pignon mm
t1
j jeu normal extérieur mm
en
j jeu apparent extérieur mm
et
j jeu normal mm
mn
© ISO 2016 – Tous droits réservés 7

---------------------- Page: 13 ----------------------
ISO 23509:2016(F)

Tableau 1 (suite)
Symbole Description Unité
j jeu apparent mm
mt
k facteur de vide à fond de dent —
c
k facteur de hauteur de dent —
d
facteur de saillie de la roue plate de référence (par rapport à —
k
hap
m )
mn
k facteur de creux de la roue plate de référence (par rapport à m ) —
hfp mn
k facteur d’épaisseur apparente —
t
m module apparent extérieur mm
et
m module normal moyen mm
mn
−1
n vitesse du pignon min
1
P puissance kW
R , R génératrice extérieure du cône de référence mm
e1 e2
R , R génératrice intérieure du cône de référence mm
i1 i2
R , R génératrice moyenne du cône de référence mm
m1 m2
r rayon de l’outil mm
c0
s , s épaisseur circulaire normale moyenne mm
mn1 mn2
s , s épaisseur normale moyenne à la corde mm
mnc1 mnc2
T couple du pignon Nm
1
t , t distance entre bombé avant et point d’intersection mm
xi1 xi2
distance entre sommet du cône primitif de fonctionnement et mm
t , t
xo1 xo2
bombé (distance entre bombé et point d’intersection, hypoïde)
t , t sommet primitif au-delà du point d’intersection mm
z1 z2
t , t sommet du cône de tête au-delà du point d’intersection mm
zF1 zF2
distance entre le point d’intersection et un point intérieur le mm
t , t
zi1 zi2
long de l’axe
distance entre le point d’intersection et un point moyen le long mm
t , t
zm1 zm2
de l’axe
t , t sommet du cône de pied au-delà du point d’intersection mm
zR1 zR2
u rapport d’engrenage —
u rapport équivalent —
a
W largeur de rainure moyenne de la roue
...